陶哲轩推荐：两名高中生发现勾股定理新证明，论文已发《美国数学月刊》

两名高中生在新证明勾股定理上有了重大突破，现在他们的论文已经问世。

数学大师陶哲轩看完这篇论文后评价道：

前几年，关于这个消息，还没有任何实质性的细节证明。

但现在（在某些限制条件下），她们确实发现了至少五个新证明，而且与所有已有证据都不同。

这两位高中生分别是Ne’Kiya Jackson 和 Calcea Johnson。

在2022年，当他们发现勾股定理的新证明时，他们就读于美国新奥尔良的圣玛丽学院（St. Mary’s Academy）。

勾股定理是家喻户晓的，包括著名的“勾三股四弦五”，以及其基本公式a²+b²=c²。

虽然这个定理有着超过2500年的历史，但它的重要性依然贯穿现代数学。

当时她们提出新证明时，在圈内引起了不小的轰动。 因为长期以来，数学家基本上都是通过代数和几何方法来证明这个定理。

然而，她们使用的是三角学（Trigonometry，基于角度和边长之间关系的直接推导）这个数学分支来进行证明。

这是一项具有挑战性的任务。 三角学很大程度上基于勾股定理，通常会导致所谓的“循环论证”（circular reasoning），即在证明中使用了待证的结果。

早在1927年，数学家Elisha Loomis就曾断言：

使用三角学规则无法完成对勾股定理的证明。

然而，尽管这个方法看似“不可能”，却被这两名高中生突破。

值得一提的是，此前只有两位专业数学家Jason Zimba和Nuno Luzia分别在2009年和2015年提出了类似方法。

现在，这两人在《美国数学月刊》上正式发表了论文，详细介绍了证明过程，并得到了陶哲轩的认可。

更重要的是，这篇论文不仅详尽介绍了五种全新的证明方法，她们还提出了一种系统方法，预计能产生至少五种额外的新证明。

换句话说，五个新证明是最低限度的，甚至可能达到十个！

其中，只有一个证明是她们在2023年3月参加学术会议时展示过的，其余九个是全新的。

接下来，我们继续看看这两位是如何做到的。

三角学证明和三个先决条件

首先，让我们了解这两位对于三角学证明的解释。

三角学证明是一种使用三角函数的性质、等式和基本定理证明几何或代数命题的方法。

它通常利用三角函数之间的关系，结合已知的三角恒等式和公式来得出结论。

实际上，正弦和余弦的三角比率是为锐角α定义的，通过创建一个直角三角形ABC，其中α是两个锐角之一，然后比较三条边中的两条的长度：

sinα定义为对边BC与斜边AB的比值，cosα是邻边AC与斜边的比值。

然而，通过测量直角三角形来定义正弦或余弦只适用于锐角，其他角度需要不同的方法。

对于这些角度，她们使用单位圆：

从点(1, 0)开始，逆时针方向（负角度为顺时针）沿着圆移动，直到达到所需的中心角α，最终到达点(x, y)。然后我们定义cosα=x和sinα=y。

对于锐角，这两种方法给出的正弦或余弦函数值是相同的。

但只有第一种方法可以合理地被称为三角学，第二种方法可能被称为圆的（cyclotopic），更恰当，如图2所示：

实际上，这两种方法之间的差异意味着，通过余弦定理（我们从c²=a²+b²−2abcosγ开始，让γ成直角）来证明勾股定理是一个圆的证明，而不是三角学的：

三角学不能计算直角的余弦值，而圆的测量告诉我们cos(90°)=0。

同样，使用cos(α−β)的公式（让α=β在恒等式cos(α−β)=cosαcosβ+sinα*sinβ中）来证明勾股定理也是圆的，而不是三角学的，使用sin(α+β)的公式也一样，其中α和β是互补的角。

声称证明是三角学的也可以基于其他理由被否定。

例如，勾股定理最著名的证明之一使用了相似性△ABC∼△ACD∼△CBD，如图3所示：由于a/c=x/a和b/c=y/b，有c=x+y=a²/c+b²/c，从而得出a²+b²=c²。

但这个证明可以很容易被改写为三角学。

由于a/c=x/a=sinα，有x=asinα=(csinα)sinα=csin²α，同样y=ccos²α。然后c=x+y=c(sin²α+cos²α)，从中得出1=sin²α+cos²α=(a/c)²+(b/c)²，因此a²+b²=c²。

但在这里使用三角学术语并没有增加任何东西——实际上，它只会使相同的方法更加复杂——因此可以说这个证明使用了相似三角形，而不是三角学。

更一般地，任何证明a²+b²=c²的证明都可以通过将csinα写成a和ccosα写成b（或通过重新缩放边a、b和c到sinα、cosα和1）来改写为“三角”证明。

首先证明sin²α+cos²α=1，之后反向替换sinα=a/c和cosα=b/c以显示a²+b²=c²。

这种幻觉显示需要对一个“三角”勾股定理的证明持怀疑态度，这种证明以这种迂回的方式工作（即，首先证明恒等式sin²α+cos²α=1）以确保“三角学”不仅仅是使用正弦和余弦术语对边长的不必要重述。

为确保勾股定理的证明过程不依赖循环论证，她们在论文中提到了三个先决条件（preliminaries）：

• 角度加法公式：

角度加法公式主要用于计算三角函数中的正弦和余弦值。

对于锐角α、β和α+β，正弦和余弦满足以下关系：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ

这些公式确保可以直接计算正弦和余弦，而无需依赖勾股定理，确保证明的严谨性和独立性。

• 正弦定理

正弦定理用于分析三角形中边长之间的关系。

正弦定理描述了三角形各边的比例关系，当已知两角及其对边时，可以确定第三边的长度。正弦定理表述如下：

这些公式将在接下来的证明步骤中多次应用，特别是用于连接和计算不同边长，以便在给定特定角度的情况下推导边长关系。

• 等腰直角三角形的特殊情况

在等腰直角三角形中，两个直角边相等，这种对称性简化了很多计算。 这类特殊三角形的边长关系直接导出了勾股定理的成立：

因此，对于等腰直角三角形，证明过程更简洁，因为两边的平方和直接等于斜边的平方。

接下来是关键的证明部分。

五至十个勾股定理新证明

为了更好阐明，接下来将直接展示证明的原文内容（公式难度较高）。

第一个证明

第二个证明

第三个证明

第四个证明

第五个证明

另外，论文也详细探讨了具体的方法。

她们首先提出了研究所要解决的基本问题：

我可以从给定的直角三角形△ABC中创建哪些新的直角三角形？

她们将构建新三角形的限制放在与△ABC角度α、β和90°（即α