陶哲轩推荐：两名高中生发现勾股定理新证明，论文已发《美国数学月刊》

两位高中生发现的勾股定理独特证明方式，相关论文隆重问世。

刚刚，数学家陶哲轩对她们的调查发表看法：

此前只有传闻，缺乏具体细节。

如今，她们已经提出至少五种独特证明方法，不同于现有任何证明。

这两位高中生分别是 Ne’Kiya Jackson 和 Calcea Johnson。

2022 年，她们在美国新奥尔良的圣玛丽学院（St. Mary’s Academy）偶然间发现了勾股定理新证明。

勾股定理家喻户晓，包括著名的“勾三股四弦五”和基本公式 a²+b²=c²。

虽然已有2500多年历史，但其重要性仍在现代数学中占据重要地位。

她们新证明的前提颇具话题性。长期以来，数学家主要使用代数和几何等方法证明该定理。

然而，她们采用了三角学这一分支（即基于对角度及边长关系的推导）进行证明。

这举措颇具挑战性，因为三角学大多建立在勾股定理基础上，容易陷入所谓的“循环论证”。

早在1927年，数学家Elisha Loomis曾称：

三角学规则无法完整证明勾股定理。

然而，这一看似“无望”的尝试，被两位高中生顺利突破。

实际上，她们采用的方法与仅有的两位专业数学家—Jason Zimba和Nuno Luzia在2009年和2015年的尝试大相径庭。

现在，她们正式在《美国数学月刊》上公开了论文，详细揭示了证明过程，并得到了陶哲轩的认可。

更令人振奋的是，她们的论文不仅介绍了五种全新的证明方法，还提出了一套系统性策略，据称可生成至少五种额外的新证明。

简而言之，至少五个新证明确凿无疑，更有可能达到十个！

其中，她们于2023年3月参加学术会议时展示过一个证明，另外九个为全新研究。

下面我们深入探讨她们的证明手法。

新证明及其三个先决条件

首先，让我们了解她们对三角学证明的阐释。

三角学证明是一种利用三角函数性质、恒等式及基本理论来论证几何或代数命题的方式。

它通常运用正弦、余弦、正切等三角函数之间的关系，结合已知的三角恒等式和公式来推导结论。

实际上，正弦和余弦三角比率是为锐角α定义的。

然而，通过度量直角三角形的方式定义正弦或余弦，仅对锐角有效，所有其他角度则需采用不同方法。

她们采用了以单位圆作为参照：

从点(1,0)开始，顺时针方向沿圆移动，直至中心角度α，最终到达点(x,y)。定义cosα = x，sinα = y。

对于锐角而言，这两种方法的正弦或余弦函数值相同，如图 1 所示。

然而，只有第一种方法可以被称为三角学。第二种方法更适用于圆，如图 2 所示。

该区别表明，使用余弦定理证明勾股定理属于圆的证明，不属于三角学：

三角学无法计算直角的余弦值，而圆的测量指示cos(90°)=0。

同样，使用cos(α − β)公式或sin(α + β)公式证明勾股定理亦属于圆，而非三角学，其中α和β为互补角。

声明一个证明是三角学的也可能会遭到质疑。

例如，著名的勾股定理证明之一使用相似性△ABC ∼ △ACD ∼ △CBD，如图 3 所示。

然而，这一证明可以很容易转换为三角学证明。

据此，勾股定理证明也可以被写作“三角”证明，尽管这只是使相同方法变得更加复杂。

进一步地，任何证明a²+b²=c²的证明均可通过将csinα写为a，ccosα写为b（或通过对边a、b、c进行缩放为sinα、cosα和1）来改为“三角”证明。

首先证明sin²α+cos²α=1，然后反向替换sinα=a/c，cosα=b/c以显示a²+b²=c²。

正是这种错觉显示了对“三角”勾股定理的怀疑，并为确保“三角学”不仅仅重复使用正弦和余弦术语对边长起到了关键作用。

为确保勾股定理的证明不具有循环论证，她们在论文中提到了三个先决条件：

• 角度加法公式：

角度加法公式主要用于正弦和余弦运算。

对于锐角α、β和α+β，正弦和余弦相互关联：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ

这些公式确保在不涉及勾股定理的情况下，可以直接计算正弦和余弦，保持证明的准确性和独立性。

• 正弦定理

正弦定理用于分析三角形边长关系。

正弦定理描述了三角形边长之间的比例关系，通过已知的两个角度和相应斜边的情况，可以确定第三边长。具体表述如下：

这些公式可用于证明的不同步骤，特别是用于计算边长关系，确保在已知特定角度的情况下得出结论。

• 等腰直角三角形的特殊情况

等腰直角三角形中，两个直角边相等，简化了很多计算。这种特殊三角形的边长关系直接导致了勾股定理：

故而，证明等腰直角三角形边长关系变得更为简洁，因为两边平方和等于斜边平方。

接下来，我们进入关键的证明部分。

五至十种勾股定理新证明

为了便于理解本节内容，我们将直接展示证明原文（难以通过公式呈现）。

第一个证明

第二个证明

第三个证明

第四个证明

第五个证明

此外，论文还阐述了具体方法。

二人首先提出了研究要解决的基本问题：

如何使用给定直角三角形△ABC创造新的直角三角形？

限定新三角形的构造范围在角度为△ABC的三个角度α、β和90°（即α+β）的整数倍和差三角形之内。

因此，这个问题的答案变得清晰明了。

引理 1

a) 若△ABC为等腰直角三角形（即α=β=45°），则所有角度为α和β的整数线性组合三角形仍为等腰直角三角形。

b) 若在直角△ABC中α < β，则存在一个角为2α和β−α的直角三角形，每对{α,β}存在唯一形成锐角角度的α和β的整数线性组合。

证明

a) 由于等腰三角形△ABC的所有角度均为45°的倍数，因此新三角形的全部角度（限制为△ABC的角度之和或差）仍为45°的倍数，新三角形必为等腰直角三角形。

b) 假设α < β。若新创建的直角三角形中的一个角度为mα+nβ（其中m,n∈Z），则其补角为：

90°−(mα+nβ)=(α+β)−(mα+nβ)=(1−m)α+(1−n)β