90 后中国女数学家王虹破解挂谷猜想：陶哲轩激动转发，网友“预定菲尔兹奖”

中国女性数学家首度有望获得菲尔兹奖？

最近，著名数学家陶哲轩兴奋地发布了消息：

一个长期困扰数学界的经典难题 —— 挂谷猜想（Kakeya 猜想），已被北大校友王虹和哥伦比亚大学副教授 Joshua Zahl在三维空间成功证明。

陶哲轩在他的科普文章中提到，三维 Kakeya 猜想的内容是：

一个包含所有方向上单位长度线段的集合（Kakeya 集）在三维空间中，其 Minkowski 和 Hausdorff 维度均为三。（后续会进一步深入探讨）

虽然这不过是一句简单的话，但其与调和分析、数论等多个数学领域密切相关，因此吸引了众多数学家争相挑战。

如今，王虹和 Joshua Zahl通过一篇127 页的论文揭示了这一难题的真相。

此事迅速引发了国内大量讨论。

有评论认为，如果这篇 arXiv 预印本通过评审，凭借此项成就，王虹便将成为2026 年菲尔兹奖的有力竞争者。

值得注意的是，菲尔兹奖是全球数学界最具声望的奖项之一，被誉为数学界的“诺贝尔奖”。

该奖项旨在表彰在数学领域内做出卓越贡献的年轻才俊（40 岁以下），每四年颁发一次，获奖者通常在国际数学大会（ICM）上公布。

据平乐县宣传部报道，王虹于1991年出生，现年仅34岁。如果她得奖，历史将记录她为第一位获菲尔兹奖的中国女性数学家。

Kakeya 猜想：数学领域的重大挑战

Kakeya 猜想首次由日本数学家挂谷宗一（Sōichi Kakeya）于1917年提出，有时也被称作挂谷猜想。

该问题的背景是：

一位武士在公厕内遇袭，他只能用一根短棍来抵挡射击，需将短棍旋转360°（支点可变）。但由于厕所空间有限，他希望能使短棒扫过的面积尽可能小。这个面积的最小值到底是多少？

转化为数学表达则是：

当一根无限细的针向所有可能的方向旋转时，其可覆盖的最小面积为多少？

这些排列被称为 Kakeya 集，在三维空间中，Kakeya 集包含了可以从各个方向看见的单位长度短线，而三维 Kakeya 猜想则声称：

尽管 Kakeya 集（R3）看似非常稀疏，实际上其 Minkowski 维度和 Hausdorff 维度都等于 3。

Minkowski 维度也被称为“盒子维度”，通过不断缩小覆盖 Kakeya 集的模型（如使用盒子或球体），可计算出在不同尺度上所需的数量和尺度的关系。

而 Hausdorff 维度更加复杂，它考虑更细致的覆盖方法，允许使用不同大小和形状的集合来覆盖 Kakeya 集，通过这些最小覆盖程度来定义维度。

当这两个维度均为 3，从几何角度来看，这些集合与整个三维空间在几何性质上是相同的，它们从某种意义上填充了空间的大部分。

换句话说，尽管这些集合的外观可能极为稀疏，但它们在几何上实际上具有与整个空间相同的“体积”或“大小”。

以上主张可以表述为数学公式：

考虑一个由𝛿x𝛿x1组成的管子集合𝕋，且𝛿为小尺度参数（0<𝛿<1）。

这些管子被视为一种细长的三维几何体，横截面为边长为𝛿的正方形，长度为1。集合𝕋中的管子数目大约为≈𝛿^-2，并且这些管子的方向是在𝛿-分离的集合方向上。

所谓𝛿-分离，意味着任意两根管子的方向之间的夹角至少为𝛿。以这种方式，将复杂的 Kakeya 集问题转化为对离散的、具有特定尺度和方向分布的管子集合的研究。

该猜想在这个离散情况下的管子并集 U_𝑇∊𝕋𝑇的体积应大约为 1。

为了简化证明过程，论文引入了一些简化的假设，例如假设管子集合是“粘性的”，即它们在多个尺度上保持相似结构。

基于这些，前期研究主要集中在形式为下界的研究（集合的最小可能维数）：

具体来说，在三维空间中，针对介于 (0 < d < 3) 的维数，相应希望 d 的值尽可能大。

早期研究相继证明了 d=1（仅考虑单管）、d=2（结合 L² 理论和线相交性质）、d=2.5（1995 年 Wolff 梳子理论）的情况。

维度参数 d 的归纳研究

最近，王虹和 Joshua Zahl 证明了 d=3 的情况。

概括而言，他们采用的证明策略相当复杂，涉及非聚集条件、Wolff 公理和多尺度分析等技术来完成论证。

以下是陶哲轩总结的关键技术环节：

他们证明的总体思路是对维度参数 d 进行归纳。

首先定义一种情况 K (d)，并通过数学推导显示在某个维度范围内，存在能从 K (d) 推导出 K (d+𝛼) 的关系，其中𝛼是一个大于 0 且与 d 相关的数。

备注：K (d)是针对所有尺寸为𝛿x𝛿x1且方向为𝛿分隔的约𝛿^-2 个管子配置的不等式（1）成立。

通过反复重复这一推导过程，使得维度参数 d 逐渐接近 3。

具体而言，他们主要应用多尺度分析技术，深入探讨管子的集合及其组织结构。

他们对粗细管进行了分类，并将细管组合成粗管。由于细管的方向具有特定分布性质，因此每个粗管容纳的细管数量是有限的，相应地，要覆盖所有细管必须有一定数量的粗管。

接下来，基于 K (d) 定义下的不等式，他们计算粗管的总体积下限，并结合之前的粗管总体积方法和结果，进一步分析了粗管的一个独特属性——“多重性”。

这指的是管子在粗管所占空间内的分布密度或重叠程度。

随后，通过对粗管内的细管进行缩放，并再次结合 K (d) 定义下的不等式，他们获得了缩放后细管的多重性。

通过将粗管和细管的多重性信息结合，理论上可以推导出所有细管集合的多重性范围。

最终，在“粘性”特殊情况下，他们得出的结果与目标所希望证明的不等式吻合。

需要指出的是，“粘性”是指在某些尺度下，管子彼此紧密贴合，形成一种“发际”（hairbrush）结构。

另外，在研究非粘性场景时，他们引入“粒状化”（graininess）理论，以一种方式描述集合内部结构，帮助理解在不同尺度下集合的组织方式。

由于在“非粘性”情形下，粗管和细管分布不均，因此无法直接使用 K (d)，他们研究了一个特殊集合（加粗的 Kakeya 集）与一个球体相交的情形。

如果 K (d) 成立，那么这个特殊集合可呈现为某种维次的分形；如果此特殊集合在某尺度下比预期更为密集，通过结合该特殊集合的邻域体积和球体体积的分析，便能得出新的结论。

而这个结论正是他们试图证明的 K (d+𝛼)，并且这一特殊的密集情况也被视作一种“Frostman 测度违反”。

此外，研究还探讨了对“Katz-Tao Convex Wolff axioms”的应用，这是一组描述管子集合行为的假设，其中在证明中作为归纳假设使用。

有关更多细节及深入见解，请查阅原论文。

16岁考入北大，后转至数学系

这项研究的作者仅有王虹和 Joshua Zahl两位。

其中，北大校友王虹现任纽约大学数学系副教授。

她出生于1991年的广西桂林平乐县，小学期间便连升两级，16岁以653分进入北京大学地球与空间物理系，后转入数学系，2011年获得学士学位。

2014 年获巴黎综合理工学院工程师学位及巴黎第十一大学硕士学位。2019年在麻省理工学院取得博士学位，导师为 Larry Guth。

2019-2021年期间，她在普林斯顿高等研究院担任博士后研究员；2021-2023年在加州大学洛杉矶分校任助理教授。

她的主要研究领域为傅里叶变换相关问题。

她表示，如果我们知道一个函数在某些曲面上或在一些“弯曲”的离散点集合上的傅里叶变换存在，那么我们能够对这个函数做出哪些推论？如何以有意义的方式将该函数分解为若干部分（这与解耦理论有关）？有趣的是，这些问题与 Falconer 距离问题和交点几何学也存在关联，我对此也充满好奇。

另一位作者 Joshua Zahl 目前为不列颠哥伦比亚大学数学系副教授。

他的主要研究方向为古典傅里叶分析与组合学，对交点几何学、限制问题和 Kakeya 问题相当感兴趣。

论文：

https://arxiv.org/abs/2502.17655

参考链接：

• [1]https://mathstodon.xyz/@tao/114068378728816631

• [2]https://sites.google.com/view/hongwang/home

• [3]https://personal.math.ubc.ca/~jzahl/

• [4]https://www.zhongkao.com/e/20070917/4b8bc922657ab.shtml

本文源自微信公众号：量子位（ID：QbitAI），作者：一水，原标题《90 后北大校友破解挂谷猜想，陶哲轩激动转发！网友：预定菲尔兹奖》

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